CHỦ ĐỀ

- ỨNG DỤNG
Định lý nhỏ FERMAT (Pierre de Fermat – Nhà Toán học thiên tài người Pháp, thế kỷ 17 )
Chúng ta biết rằng một trong những mục tiêu trong lịch sử phát triển Toán học là đưa lý thuyết Số học vào Đại số nhằm giải quyết các bài toán thực tế. Một trong các bài toán đó là bài toán về Phương trình nghiệm nguyên – có người nói “là cái đích cuối cùng của Số học”– chúng thuộc vào lớp các phương trình vô định.
Người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống về Phương trình vô định là nhà Toán học Diophante , sống ở thế kỷ thứ III. Tập sách “Số học ” của ông có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của Lý thuyết Số.
Khi xét phương trình Diophante sau đây : xn + yn = zn với n>2, nhà toán học Fermat (Nhà toán hoc Bell – gắn với phương trình nghiệm nguyên Bell nổi tiếng – hóm hỉnh gọi Fermat là “ Hoàng tử của những người nghiệp dư “. Bell cho rằng Fermat đã đạt được nhiều thành tựu toán học quan trọng hơn hầu hếtcác nhà toán học “chuyên nghiệp” cùng thời với ông) khẳng định rằng phương trình trên không có nghiệm nguyên dương. Kết luận này được mang tên là Định lý lớn Fermat . Năm 1983, một nhà Toán học người Đức đã chứng minh được rằng phương trình xn + yn = zn với n>2 chỉ có một số hữu hạn nghiệm nguyên.
Việc giải hoàn chỉnh phương trình xn + yn = zn với n>2, cho đến ngày nay vẫn còn là một thách thức đối với các nhà Toán học trên thế giới. Vì lẽ đó, định lý lớn Fermat đúng ra nên gọi là “một giả thuyết Fermat”.
Các bạn biết rằng “ một giả thuyết “ thì có thể đúng hoặc sai, siêu bài toán Fermat tưởng đã đi vào ngõ cụt. Tuy nhiên, ngày 23/06/1993 nhà toán học AndrewWiles đã công bố công trình nghiên cứu của mình trước Hội nghị toán học Quốc tế tại Đại học Cambridge (Anh) về “Bài toán Fermat” sau 8 năm nghiên cứu (công trình này dày khoảng 300 trang giấy A4). Thế là bài toán nổi tiếng của mọi thời đại đã được giải quyết xong, người ta gọi Wiles là nhà “Chinh phục Toán học” và ngay ngày hôm sau cái tên Wiles đã trở nên quen thuộc với mọi người, mọi nhà !.


*** Định lý nhỏ FERMAT
p là số nguyên tố ; a là số nguyên ( ( ap - a ) ( 0 ( mod p )
Hệ quả
p là số nguyên tố ; a là số nguyên sao cho ( a , p ) = 1 ( ap - 1 ( 1 ( mod p )

VÍ DỤ
Với bất kỳ số nguyên a mà ( a, p ) = 1 trong đó p là số nguyên tố. Chứng minh rằng: nếu x, y là hai số nguyên dương thỏa (x – y)
(p – 1) thì (ax – ay)
p .
Giải
Theo định lý nhỏ Fermat, ta có : ap – 1 ( 1 (mod p)
Vì (x – y) p – 1) nên x – y = k.(p – 1) (k Z)
ax – y = ak.(p – 1) ( 1 (mod p)
ax : ay ( 1 (mod p) ( ax ( ay (mod p)
ax – ay ( 0 (mod p) ( (ax – ay)
p - đpcm !




PHÉP CHIA HẾT - SỐ NGUYÊN TỐ - SỐ CHÍNH PHƯƠNG
---oOo---
1- Cho a, b là hai số nguyên sao cho (a , b) = 1
Chứng minh rằng các số dạng a3 + 2b3 và a3 – 2b3 không chia hết cho 19.
2- Tìm các số nguyên dương n sao cho n.2n + 3n chia hết cho 5.
3- Tìm tất cả các số hữu tỉ x sao cho x2 + x + 6 là một số chính phương.
4- Tìm số tự nhiên n khác 0 sao cho n2003 + n2002 + 1 là một số nguyên tố.
5- Cho A =1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n +1)(n + 2) trong đó n là số tự nhiên khác 0, chứng minh rằng 4A + 1 là một số chính phương.
6- Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lẻ thì n3 + 1 không thể là số chính phương.
7- Chứng minh rằng :
a) 130 + 230 + 330 + ... + 1030 chia cho 11 dư 10
b) 11991 + 21991 + 31991 + ... + 19911991 chia hết cho 11
8- Cho 20 số nguyên dương phân biệt, mỗi số không vượt quá 70. Với hai số bất kỳ trong 20 số đó, ta lập hiệu giữa số lớn và số bé. Chứng minh